与えられた式 $x^6 - 64$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 64$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^6$ と $64$ をそれぞれ平方根の形で表します。

$x^6 = (x^3)^2$ であり、$64 = 8^2$ です。

したがって、$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2$ となります。

次に、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を適用します。この場合、$a = x^3$、 $b = 8$ なので、

$x^6 - 64 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$ となります。

さらに、$x^3 - 8$ と $x^3 + 8$ はそれぞれ立方体の差と立方体の和なので、次の公式を使用します。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ なので、$a = x$、$b = 2$ を代入すると、

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ となります。

同様に、$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ なので、$a = x$、$b = 2$ を代入すると、

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ となります。

したがって、

$x^6 - 64 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$