$a \ne 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が $6$ で，最小値が $-2$ であるとき，定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \ne 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が $6$ で，最小値が $-2$ であるとき，定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず，関数を平方完成する。

\begin{align*}

y &= a(x^2 - 4x) + b \\

&= a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b \\

&= a(x - 2)^2 - 4a + b

\end{align*}

軸は $x = 2$ である。

(i) $a > 0$ のとき

$x = 2$ で最小値 $-4a + b = -2$ をとる。

$x = 4$ で最大値 $a(4-2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b = 6$ をとる。

$-4a + b = -2$ に $b = 6$ を代入して $-4a + 6 = -2$ より $4a = 8$ なので $a = 2$。

$a > 0$ を満たすので，$a = 2$, $b = 6$。

(ii) $a < 0$ のとき

$x = 2$ で最大値 $-4a + b = 6$ をとる。

$x = 4$ で最小値 $a(4-2)^2 - 4a + b = 4a - 4a + b = b = -2$ をとる。

$-4a + b = 6$ に $b = -2$ を代入して $-4a - 2 = 6$ より $-4a = 8$ なので $a = -2$。

$a < 0$ を満たすので，$a = -2$, $b = -2$。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 6$ または $a = -2, b = -2$