$\sqrt{1-2x} = x$ の解を $x = [ア] + \sqrt{[イ]}$ の形で表すとき、$[ア]$ と $[イ]$ に入る適切な整数値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{1-2x} = x$ の解を $x = [ア] + \sqrt{[イ]}$ の形で表すとき、$[ア]$ と $[イ]$ に入る適切な整数値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $\sqrt{1-2x} = x$ の両辺を2乗します。

$(\sqrt{1-2x})^2 = x^2$

$1-2x = x^2$

次に、得られた二次方程式を整理します。

$x^2 + 2x - 1 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を使用します。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

この問題の場合、$a=1$, $b=2$, $c=-1$ であるため、解の公式に代入すると、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{2}$

ここで、$\sqrt{1-2x} = x$ であることから、$x \geq 0$ である必要があります。

したがって、$x = -1 - \sqrt{2}$ は解として不適切です。

よって、$x = -1 + \sqrt{2}$ が解となります。

したがって、$x = -1 + \sqrt{2}$ と $x = [ア] + \sqrt{[イ]}$ を比較すると、$[ア] = -1$, $[イ] = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x = -1 + \sqrt{2}$

$[ア] = -1$

$[イ] = 2$