不等式 $2\log_3 x \ge \log_3(x+6)$ の解を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $2\log_3 x \ge \log_3(x+6)$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、真数条件から、$x > 0$ かつ $x+6 > 0$ である必要があります。したがって、$x > 0$ です。

次に、不等式を変形します。

$2\log_3 x \ge \log_3(x+6)$

$\log_3 x^2 \ge \log_3(x+6)$

底が3で、1より大きいので、真数部分の大小関係は不等号の向きと同じになります。

$x^2 \ge x+6$

$x^2 - x - 6 \ge 0$

$(x-3)(x+2) \ge 0$

したがって、$x \le -2$ または $x \ge 3$ です。

しかし、真数条件より $x>0$ である必要があるため、$x \le -2$ は不適です。

したがって、$x \ge 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \ge 3$