与えられた分数式の和を計算する問題です。問題は以下の通りです。 $\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の和を計算する問題です。問題は以下の通りです。

$\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$2x^2-5x+3 = (2x-3)(x-1)$

$2x^2+x-6 = (2x-3)(x+2)$

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

したがって、問題の式は次のようになります。

$\frac{x-2}{(2x-3)(x-1)} + \frac{3x-1}{(2x-3)(x+2)} + \frac{2x-5}{(x+2)(x-1)}$

次に、共通の分母を見つけます。共通の分母は $(2x-3)(x-1)(x+2)$ です。各分数を共通の分母で表します。

$\frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{(3x-1)(x-1)}{(2x-3)(x+2)(x-1)} + \frac{(2x-5)(2x-3)}{(x+2)(x-1)(2x-3)}$

分子をそれぞれ展開します。

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

$(3x-1)(x-1) = 3x^2 - 4x + 1$

$(2x-5)(2x-3) = 4x^2 - 16x + 15$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x^2 - 4}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{3x^2 - 4x + 1}{(2x-3)(x+2)(x-1)} + \frac{4x^2 - 16x + 15}{(x+2)(x-1)(2x-3)}$

分子をすべて足し合わせます。

$(x^2 - 4) + (3x^2 - 4x + 1) + (4x^2 - 16x + 15) = 8x^2 - 20x + 12$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{8x^2 - 20x + 12}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$8x^2 - 20x + 12 = 4(2x^2 - 5x + 3) = 4(2x-3)(x-1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4(2x-3)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)}$

共通の因子をキャンセルします。

$\frac{4}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{x+2}$