与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は、行列とベクトルを用いて次のように表現されています。 $ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は、行列とベクトルを用いて次のように表現されています。

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を解くために、ガウスの消去法または逆行列を用いることができます。ここでは、ガウスの消去法を用いて解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 5 & -1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array} \right]$

次に、行基本変形を行います。

1. 3行目を2倍して、1行目から引きます。

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array} \right]$

2. 1行目を-1倍します。

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array} \right]$

3. 2行目から1行目の2倍を引きます。

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array} \right]$

4. 1行目と3行目を入れ替えます。

$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$

この行列は、次の連立方程式に対応します。

$x_1 + 3x_3 = 1$

$x_2 + x_3 = 3$

$x_3 = t$ とすると、$x_1 = 1 - 3t$、$x_2 = 3 - t$ となります。

3. 最終的な答え

連立一次方程式の解は次のようになります。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 3t \\ 3 - t \\ t \end{bmatrix}$

ここで、$t$ は任意の実数です。