対数の性質を利用して、以下の(1)から(6)までの値を求める問題です。 (1) $\log_2 8$ (2) $\log_3 \frac{1}{27}$ (3) $\log_8 2 + \log_8 32$ (4) $\log_3 6 + \log_3 \frac{1}{2}$ (5) $\log_3 36 - \log_3 4$ (6) $\log_2 \sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3}$

1. 問題の内容

対数の性質を利用して、以下の(1)から(6)までの値を求める問題です。

(1) $\log_2 8$

(2) $\log_3 \frac{1}{27}$

(3) $\log_8 2 + \log_8 32$

(4) $\log_3 6 + \log_3 \frac{1}{2}$

(5) $\log_3 36 - \log_3 4$

(6) $\log_2 \sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して計算します。主な性質は以下の通りです。

* $\log_a a = 1$

* $\log_a 1 = 0$

* $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

* $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

* $\log_a x^n = n \log_a x$

* $\log_{a^m} x = \frac{1}{m} \log_a x$

(1) $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \log_2 2 = 3 \times 1 = 3$

(2) $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \log_3 3 = -3 \times 1 = -3$

(3) $\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \times 32) = \log_8 64 = \log_8 8^2 = 2 \log_8 8 = 2 \times 1 = 2$

別の解き方：$\log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3}$. $\log_8 32 = \log_{2^3} 2^5 = \frac{5}{3} \log_2 2 = \frac{5}{3}$. 従って、$\log_8 2 + \log_8 32 = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(4) $\log_3 6 + \log_3 \frac{1}{2} = \log_3 (6 \times \frac{1}{2}) = \log_3 3 = 1$

(5) $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \log_3 3 = 2 \times 1 = 2$

(6) $\log_2 \sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3} = \log_2 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \log_2 \sqrt{\frac{6}{3}} = \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -3

(3) 2

(4) 1

(5) 2

(6) 1/2