与えられた方程式 $|x^2 - 7| = -2x + 8$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|x^2 - 7| = -2x + 8$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、場合分けを行う。

(1) $x^2 - 7 \ge 0$ のとき、すなわち $x^2 \ge 7$ のとき ($x \le -\sqrt{7}$ または $x \ge \sqrt{7}$ のとき)、

$x^2 - 7 = -2x + 8$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

$(x + 5)(x - 3) = 0$

$x = -5, 3$

$x = -5$ は $x \le -\sqrt{7}$ を満たし、解として適切である。

$x = 3$ は $x \ge \sqrt{7}$ を満たし、解として適切である。

ここで、$-2x + 8 \ge 0$ でないといけないので、$-2x \ge -8$ となり、$x \le 4$ である必要がある。

$x = -5$ は $x \le 4$ を満たし、解として適切である。

$x = 3$ は $x \le 4$ を満たし、解として適切である。

(2) $x^2 - 7 < 0$ のとき、すなわち $x^2 < 7$ のとき ($-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ のとき)、

$-(x^2 - 7) = -2x + 8$

$-x^2 + 7 = -2x + 8$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ は $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ を満たし、解として適切である。

また、$x = 1$ は $x \le 4$ を満たし、解として適切である。

したがって、解は $x = -5, 1, 3$。

3. 最終的な答え

$x = -5, 1, 3$