(3) $x = \sqrt{5} - 2$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

(3) $x = \sqrt{5} - 2$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x = \sqrt{5} - 2$ のとき、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

よって、$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1) より、$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{5}$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(2) 18