問題14は、与えられた条件を満たす放物線をグラフとする2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が点(1, 3)で、点(2, -1)を通る。 (2) 軸が直線 $x = -2$ で、2点(0, 5), (1, 20)を通る。

1. 問題の内容

問題14は、与えられた条件を満たす放物線をグラフとする2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が点(1, 3)で、点(2, -1)を通る。

(2) 軸が直線 $x = -2$ で、2点(0, 5), (1, 20)を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(1, 3)なので、2次関数は $y = a(x - 1)^2 + 3$ と表せます。

このグラフが点(2, -1)を通るので、 $x = 2$, $y = -1$ を代入すると、

$-1 = a(2 - 1)^2 + 3$

$-1 = a(1)^2 + 3$

$-1 = a + 3$

$a = -4$

したがって、求める2次関数は $y = -4(x - 1)^2 + 3$ です。

(2) 軸が $x = -2$ なので、2次関数は $y = a(x + 2)^2 + q$ と表せます。

このグラフが2点(0, 5), (1, 20)を通るので、

$x = 0, y = 5$ を代入すると、$5 = a(0 + 2)^2 + q = 4a + q$

$x = 1, y = 20$ を代入すると、$20 = a(1 + 2)^2 + q = 9a + q$

連立方程式を解きます。

$4a + q = 5$

$9a + q = 20$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(9a + q) - (4a + q) = 20 - 5$

$5a = 15$

$a = 3$

$4(3) + q = 5$

$12 + q = 5$

$q = -7$

したがって、求める2次関数は $y = 3(x + 2)^2 - 7$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -4(x - 1)^2 + 3$

(2) $y = 3(x + 2)^2 - 7$