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与えられた式を計算します。式は $(\frac{2}{3+\sqrt{7}})^2+(\frac{2}{3-\sqrt{7}})^2$ です。

代数学式の計算有理化平方根
2025/5/29

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。式は
(23+7)2+(23−7)2(\frac{2}{3+\sqrt{7}})^2+(\frac{2}{3-\sqrt{7}})^2
です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。
(23+7)2(\frac{2}{3+\sqrt{7}})^2 の分母を有理化するために、3−73-\sqrt{7}を分子と分母に掛けます。
(23+7)2=(2(3−7)(3+7)(3−7))2(\frac{2}{3+\sqrt{7}})^2 = (\frac{2(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})})^2
(3+7)(3−7)=32−(7)2=9−7=2(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2
よって、
(23+7)2=(2(3−7)2)2=(3−7)2(\frac{2}{3+\sqrt{7}})^2 = (\frac{2(3-\sqrt{7})}{2})^2 = (3-\sqrt{7})^2
次に、(3−7)2(3-\sqrt{7})^2 を計算します。
(3−7)2=32−2(3)(7)+(7)2=9−67+7=16−67(3-\sqrt{7})^2 = 3^2 - 2(3)(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}
(23−7)2(\frac{2}{3-\sqrt{7}})^2 の分母を有理化するために、3+73+\sqrt{7}を分子と分母に掛けます。
(23−7)2=(2(3+7)(3−7)(3+7))2(\frac{2}{3-\sqrt{7}})^2 = (\frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})})^2
(3−7)(3+7)=32−(7)2=9−7=2(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2
よって、
(23−7)2=(2(3+7)2)2=(3+7)2(\frac{2}{3-\sqrt{7}})^2 = (\frac{2(3+\sqrt{7})}{2})^2 = (3+\sqrt{7})^2
次に、(3+7)2(3+\sqrt{7})^2 を計算します。
(3+7)2=32+2(3)(7)+(7)2=9+67+7=16+67(3+\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2(3)(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 = 9 + 6\sqrt{7} + 7 = 16 + 6\sqrt{7}
最後に、それぞれの計算結果を足します。
(16−67)+(16+67)=16+16−67+67=32(16 - 6\sqrt{7}) + (16 + 6\sqrt{7}) = 16 + 16 - 6\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 32

3. 最終的な答え

32

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