与えられた線形結合の式から、以下の問題を解きます。 (1) 結合係数 $c_1, c_2, c_3$ に関する3元連立1次方程式を立てる。 (2) ガウス・ジョルダンの消去法を用いて、$c_1, c_2, c_3$ を求める。係数行列の階数と拡大係数行列の階数も求める。 (3) (未知数の個数) - (実質的な方程式の個数) を求める。 (4) $c_1, c_2, c_3$ を表すために必要な任意の実数の個数を答える。

1. 問題の内容

与えられた線形結合の式から、以下の問題を解きます。

(1) 結合係数 $c_1, c_2, c_3$ に関する3元連立1次方程式を立てる。

(2) ガウス・ジョルダンの消去法を用いて、$c_1, c_2, c_3$ を求める。係数行列の階数と拡大係数行列の階数も求める。

(3) (未知数の個数) - (実質的な方程式の個数) を求める。

(4) $c_1, c_2, c_3$ を表すために必要な任意の実数の個数を答える。

2. 解き方の手順

(1) 3元連立1次方程式を立てる。

与えられた式は、

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

これから、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align} \label{eq:1} c_1 + c_3 &= 1 \\ 5c_1 - 2c_2 - 2c_3 &= 0 \\ 3c_1 + 3c_3 &= 3 \end{align}

(2) ガウス・ジョルダンの消去法で解く。

拡大係数行列は、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 5 & -2 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

3行目を3で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 5 & -2 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目は1行目と同じなので削除する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 5 & -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の5倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -7 & -5 \end{pmatrix}$

2行目を-2で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

よって、

\begin{align} c_1 + c_3 &= 1 \\ c_2 + \frac{7}{2}c_3 &= \frac{5}{2} \end{align}

$c_3 = t$ とすると、

\begin{align} c_1 &= 1 - t \\ c_2 &= \frac{5}{2} - \frac{7}{2}t \end{align}

係数行列の階数は2、拡大係数行列の階数も2。

(3) (未知数の個数) - (実質的な方程式の個数) = 3 - 2 = 1

(4) $c_1, c_2, c_3$ を表すために必要な任意の実数の個数は1。

3. 最終的な答え

(1)

$c_1 + c_3 = 1$

$5c_1 - 2c_2 - 2c_3 = 0$

$3c_1 + 3c_3 = 3$

(2)

$c_1 = 1 - t$

$c_2 = \frac{5}{2} - \frac{7}{2}t$

$c_3 = t$

係数行列の階数: 2

拡大係数行列の階数: 2

(3) 1

(4) 1