点A(3, -2), B(4, 1), C(2, -k), D(k, 4)が与えられたとき、ベクトルABとベクトルCDが平行となるような実数kの値を求める問題です。

代数学ベクトル平行連立方程式線形代数

2025/5/29

1. 問題の内容

2. 解き方の手順

まず、ベクトルABとベクトルCDを計算します。

ベクトルABは、

B - A = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)

となります。

ベクトルCDは、

D - C = (k-2, 4-(-k)) = (k-2, 4+k)

となります。

ベクトルABとベクトルCDが平行であるとき、ベクトルCDはベクトルABのスカラー倍で表すことができます。つまり、ある実数tが存在して、

CD = tAB

が成り立ちます。

したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

k - 2 = t

4 + k = 3t

一つ目の式から、

t = k - 2

を得ます。

これを二つ目の式に代入すると、

4 + k = 3(k - 2)

となります。

これを解くと、

4 + k = 3k - 6

となり、

2k = 10

となるので、

k = 5

となります。

3. 最終的な答え

k = 5

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