与えられた三角関数の式 $2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta$ を合成せよ。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta$ を合成せよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成は、一般に $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ここで $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{R}, \sin\alpha = \frac{b}{R}$ を満たす$\alpha$を求める。

与えられた式は $2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta$ なので、$a=2, b=-2\sqrt{3}$ となる。

まず、$R$を計算する。

$R = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

次に、$\alpha$を求める。

$\cos\alpha = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\alpha$は、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ (または $\alpha = \frac{5\pi}{3}$)である。

したがって、$2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta = 4\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

$4\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$