定数 $a$ が与えられたとき、放物線 $y = x^2 + a$ と関数 $y = 4|x-1| - 3$ のグラフの共有点の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、放物線 $y = x^2 + a$ と関数 $y = 4|x-1| - 3$ のグラフの共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 4|x-1| - 3$ の絶対値を外します。

$x \ge 1$ のとき、$y = 4(x-1) - 3 = 4x - 7$ となります。

$x < 1$ のとき、$y = 4(1-x) - 3 = -4x + 1$ となります。

次に、それぞれの範囲で $y = x^2 + a$ との共有点の個数を考えます。

(i) $x \ge 1$ のとき：

$x^2 + a = 4x - 7$

$x^2 - 4x + (a+7) = 0$

この2次方程式の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-4)^2 - 4(a+7) = 16 - 4a - 28 = -4a - 12$

$D_1 \ge 0$ となるのは $-4a - 12 \ge 0$ つまり $a \le -3$ のときです。

しかし、$x \ge 1$ の範囲で解が存在する必要があるので、$x = \frac{4 \pm \sqrt{-4a-12}}{2} = 2 \pm \sqrt{-a-3}$ が $x \ge 1$ を満たす必要があります。

$x = 2 - \sqrt{-a-3}$ を考えると、$x \ge 1$ より $2 - \sqrt{-a-3} \ge 1$

$1 \ge \sqrt{-a-3}$

$1 \ge -a-3$

$a \ge -4$

よって、$-4 \le a \le -3$ のとき、共有点は1つ。

$a < -4$ のとき、共有点は2つ。

$a > -3$ のとき、共有点は0個。

(ii) $x < 1$ のとき：

$x^2 + a = -4x + 1$

$x^2 + 4x + (a-1) = 0$

この2次方程式の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = 4^2 - 4(a-1) = 16 - 4a + 4 = 20 - 4a$

$D_2 \ge 0$ となるのは $20 - 4a \ge 0$ つまり $a \le 5$ のときです。

しかし、$x < 1$ の範囲で解が存在する必要があるので、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{20-4a}}{2} = -2 \pm \sqrt{5-a}$ が $x < 1$ を満たす必要があります。

$x = -2 + \sqrt{5-a}$ を考えると、$x < 1$ より $-2 + \sqrt{5-a} < 1$

$\sqrt{5-a} < 3$

$5-a < 9$

$a > -4$

よって、$-4 < a \le 5$ のとき、共有点は1つ。

$a \le -4$ のとき、共有点は0個。

$a > 5$ のとき、共有点は0個。

$a=-4$ のときは、x=1の場合分けの両方にx=1となる共有点を共有するので1つ減る。

共有点の個数は、それぞれの範囲での共有点の個数を足し合わせたものになります。

$a < -4$ のとき、$2 + 0 = 2$個

$a = -4$ のとき、$1 + 0 = 1$個

$-4 < a < -3$ のとき、$0 + 1 = 1$個

$a = -3$ のとき、$1 + 1 = 2$個

$-3 < a \le 5$ のとき、$0 + 2 = 2$個

$a > 5$ のとき、$0+0=0$個

3. 最終的な答え

$a < -4$ のとき 2個

$a = -4$ のとき 1個

$-4 < a \le -3$ のとき 1個

$-3 < a \le 5$ のとき 2個

$a > 5$ のとき 0個