与えられた式 $\frac{a^2\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}}$ を簡略化せよ。ただし、$a > 0$とする。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{a^2\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}}$ を簡略化せよ。ただし、$a > 0$とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を指数形式に変換します。

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}$

したがって、元の式は次のように書き換えられます。

$\frac{a^2\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}} = \frac{a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}}$

指数の法則を用いて、$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ より、分子をまとめます。

$a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$

元の式は次のようになります。

$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}}$

指数の法則を用いて、$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ より、

$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{4}{3}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{4}{3}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{8}{6}} = a^{\frac{7}{6}}$

$a^{\frac{7}{6}}$を根号の形で表すと、

$a^{\frac{7}{6}} = a^{1 + \frac{1}{6}} = a \cdot a^{\frac{1}{6}} = a\sqrt[6]{a}$

3. 最終的な答え

$a\sqrt[6]{a}$