数列 $\{a_n\}: 5, 11, 23, 41, 65, 95, ...$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}: 5, 11, 23, 41, 65, 95, ...$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列 $\{b_n\}$ を考えます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$です。

与えられた数列の隣接する項の差を取ると、

$b_1 = 11 - 5 = 6$

$b_2 = 23 - 11 = 12$

$b_3 = 41 - 23 = 18$

$b_4 = 65 - 41 = 24$

$b_5 = 95 - 65 = 30$

となり、階差数列は $6, 12, 18, 24, 30, ...$ です。

この数列は初項が6、公差が6の等差数列なので、

$b_n = 6 + (n-1) \cdot 6 = 6n$

となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ （ただし、$n \geq 2$）

で与えられます。$a_1 = 5$ と $b_k = 6k$ を代入すると、

$a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k = 5 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k = 5 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 5 + 3n(n-1) = 5 + 3n^2 - 3n = 3n^2 - 3n + 5$

となります。

$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 5 = 3 - 3 + 5 = 5$ となり、与えられた数列の初項と一致します。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = 3n^2 - 3n + 5$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 5$