(1) 実数 $a, b, c$ が $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2}$ を満たすとき、この式の値を求める。 (2) $a>0, b>0$ のとき、 $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ の最小値を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

(1) 実数 $a, b, c$ が $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2}$ を満たすとき、この式の値を求める。

(2) $a>0, b>0$ のとき、 $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2} = k$ とおく。

すると、

$b+c+4 = k(a+2)$

$c+a+4 = k(b+2)$

$a+b+4 = k(c+2)$

となる。

これらの式をすべて足し合わせると、

$2(a+b+c) + 12 = k(a+b+c) + 6k$

$(2-k)(a+b+c) = 6k-12$

$(2-k)(a+b+c) = 6(k-2)$

$(2-k)(a+b+c) = -6(2-k)$

(i) $k \neq 2$ のとき

$a+b+c = -6$

このとき、$b+c+4 = k(a+2)$ に $b+c = -6-a$ を代入すると、

$-6-a+4 = k(a+2)$

$-a-2 = k(a+2)$

$-(a+2) = k(a+2)$

$a \neq -2$ より、$k = -1$

(ii) $k=2$ のとき

$b+c+4 = 2(a+2)$

$b+c+4 = 2a+4$

$b+c = 2a$

同様に、$c+a = 2b$, $a+b = 2c$

これらの式をすべて足し合わせると、

$2(a+b+c) = 2(a+b+c)$

これは常に成り立つ。

$b+c = 2a$ に $a+b = 2c$ を代入すると、$b+c = 2a$

$b=2c-a$ より、$2c-a+c=2a$

$3c = 3a$

$c=a$

同様に、$a=b$

よって、$a=b=c$

$b+c+4 = 2a+4$

$2a+4 = 2(a+2)$

$2a+4=2a+4$ これは常に成り立つ。

したがって、$a=b=c$のとき、$k=2$である。

求める値は、$k$なので、$k = -1$ または $k=2$

(2)

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a}) = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

$ab>0$なので、相加相乗平均の関係より、

$ab + \frac{4}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

よって、

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a}) \geq 4 + 5 = 9$

等号成立は、$ab = \frac{4}{ab}$ より $ab = 2$のとき。

3. 最終的な答え

(1) -1 か 2

(2) 9