2次方程式が異なる2つの正の解を持つ条件について、判別式 $D$、解の和 $\alpha + \beta$、解の積 $\alpha \beta$ が満たすべき不等式を求め、解と係数の関係を用いて $m$ の範囲を求める問題です。また、2次方程式が異なる2つの負の解を持つ場合、および正と負の解を持つ場合の $D$, $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ の符号を判定する問題です。

1. 問題の内容

2次方程式が異なる2つの正の解を持つ条件について、判別式 $D$、解の和 $\alpha + \beta$、解の積 $\alpha \beta$ が満たすべき不等式を求め、解と係数の関係を用いて $m$ の範囲を求める問題です。また、2次方程式が異なる2つの負の解を持つ場合、および正と負の解を持つ場合の $D$, $\alpha+\beta$, $\alpha\beta$ の符号を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を特定する必要があります。OCRの結果から、これは $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ であると推測できます。この方程式の判別式を $D$、2つの解を $\alpha$、$\beta$ とします。

(解答その2)

- 異なる2つの正の解を持つための条件

- $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ）

- $\alpha + \beta > 0$ （解の和が正）

- $\alpha \beta > 0$ （解の積が正）

- 解と係数の関係より

- $\alpha + \beta = 2m$

- $\alpha \beta = -m + 6$

- $D$ の計算:

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m+6) = 4m^2 + 4m - 24 = 4(m^2 + m - 6) = 4(m+3)(m-2)$

$D>0$ より $(m+3)(m-2) > 0$

したがって、$m < -3$ または $m > 2$ ...(4)

- $\alpha + \beta = 2m > 0$ より $m > 0$ ...(5)

- $\alpha \beta = -m + 6 > 0$ より $m < 6$ ...(6)

- (4), (5), (6) の共通範囲は、$2 < m < 6$

(解答その2)

(1) 異なる2つの負の解を持つための条件

- $D > 0$

- $\alpha + \beta < 0$

- $\alpha \beta > 0$

(2) 正と負の解を持つための条件

- $D > 0$

- $\alpha + \beta$ の符号は不定 (x)

- $\alpha \beta < 0$

3. 最終的な答え

(解答その2)

D > 0 ...(4), α + β > 0 ...(5), αβ > 0 ...(6)

α + β = 2m

αβ = -m + 6

④をmについて解くと、m < -3 または m > 2

⑤をmについて解くと、m > 0

⑥をmについて解くと、m < 6

④, ⑤, ⑥の共通範囲から、求めたいmの値の範囲は、2 < m < 6

(解答その2)

(1) 異なる2つの負の解

D > 0, α + β < 0, αβ > 0

(2) 正と負の解

D > 0, α + β は不定 (x), αβ < 0