反比例のグラフ $y=\frac{a}{x}$ ($a>0$) と直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ が2点A, Bで交わっています。点Aのx座標は2, 点Bのx座標は-8です。また、直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ とx軸, y軸との交点をそれぞれC, Dとします。 (1) $a$ の値を求めなさい。 (2) 点Pのx座標が6のとき、三角形ABPの面積を求めなさい。 (3) 三角形ADPの周の長さが最も短くなるときの点Pのx座標を求めなさい。

1. 問題の内容

反比例のグラフ $y=\frac{a}{x}$ ($a>0$) と直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ が2点A, Bで交わっています。点Aのx座標は2, 点Bのx座標は-8です。また、直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ とx軸, y軸との交点をそれぞれC, Dとします。

(1) $a$ の値を求めなさい。

(2) 点Pのx座標が6のとき、三角形ABPの面積を求めなさい。

(3) 三角形ADPの周の長さが最も短くなるときの点Pのx座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは反比例のグラフ $y=\frac{a}{x}$ 上にあるので、Aの座標を $(2, y_A)$ とおくと、$y_A=\frac{a}{2}$ と表せます。

また、点Aは直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ 上にもあるので、$y_A=\frac{3}{2}\times 2+9 = 3+9 = 12$ です。

したがって、$\frac{a}{2}=12$ より、$a=24$ となります。

(2) $a=24$ がわかったので、反比例のグラフは $y=\frac{24}{x}$ となります。

点Bのx座標は-8なので、点Bのy座標は $y_B=\frac{24}{-8}=-3$ となります。したがって、Bの座標は $(-8, -3)$ です。

直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ とx軸との交点Cは、$0=\frac{3}{2}x+9$ を解いて $\frac{3}{2}x=-9$ より $x=-6$ となります。したがって、Cの座標は $(-6, 0)$ です。

点Pのx座標は6なので、Pの座標は $(6, 0)$ です。

点Aのy座標は12なので、Aの座標は $(2, 12)$ です。

三角形ABPの面積は、Pから直線ABへの距離を高さとすると計算が複雑になるので、座標を利用して計算します。

A(2, 12), B(-8, -3), P(6, 0)の座標から、三角形ABPの面積を計算します。

三角形の面積の公式を使うと、

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_P)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_P - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(2-6)(-3-12) - (2-(-8))(0-12)|$

$S = \frac{1}{2} |(-4)(-15) - (10)(-12)|$

$S = \frac{1}{2} |60 + 120|$

$S = \frac{1}{2} |180|$

$S = \frac{1}{2} \times 180 = 90$

したがって、三角形ABPの面積は90です。

(3) Dの座標は、直線 $y=\frac{3}{2}x+9$ のy切片なので、Dの座標は $(0, 9)$ です。

A(2, 12), D(0, 9), P(x, 0)

$AP = \sqrt{(x-2)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 144}$

$DP = \sqrt{(x-0)^2 + (0-9)^2} = \sqrt{x^2 + 81}$

$AD = \sqrt{(2-0)^2 + (12-9)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

$L = AP + DP + AD = \sqrt{(x-2)^2 + 144} + \sqrt{x^2 + 81} + \sqrt{13}$

$\frac{dL}{dx} = \frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2+144}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+81}} = 0$

AP+DPが最小となるときは、PがADに関してAと線対称な点A'とDを結ぶ直線上にあるときなので

AP+DP=A'P+DP=A'Dが最小になる。

A'の座標を(p,q)とすると、線分AA'の中点がx軸上にあるので、

$\frac{12+q}{2} = 0$ より、$q=-12$。

また、直線AA'はx軸に垂直なので傾きを持たない。

このことから、ADに関してAと線対称な点のA'の座標は(2,-12)となる。

2点A'(2,-12),D(0,9)を通る直線は

$\frac{y-9}{x-0} = \frac{-12-9}{2-0}$

$\frac{y-9}{x} = \frac{-21}{2}$

$y-9 = -\frac{21}{2}x$

点Pはx軸上にあるからy=0より

$-9 = -\frac{21}{2}x$

$x = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $a=24$

(2) 90

(3) $\frac{6}{7}$