2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2mx - m + 6$ とおく。

この2次方程式が異なる2つの正の解を持つためには、以下の3つの条件がすべて満たされる必要がある。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(2) 軸 $x = m > 0$ (軸が正である)

(3) $f(0) > 0$ ($y$軸との交点が正である)

(1) 判別式 $D$ について

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m + 6) = 4m^2 + 4m - 24 = 4(m^2 + m - 6) = 4(m + 3)(m - 2)$

$D > 0$ より、

$4(m + 3)(m - 2) > 0$

$(m + 3)(m - 2) > 0$

したがって、$m < -3$ または $m > 2$。

(2) 軸について

軸は $x = -\frac{-2m}{2(1)} = m$

軸が正であるから、$m > 0$。

(3) $f(0)$ について

$f(0) = (0)^2 - 2m(0) - m + 6 = -m + 6$

$f(0) > 0$ より、

$-m + 6 > 0$

$m < 6$。

3つの条件 (1), (2), (3) を満たす $m$ の範囲を求める。

(1) $m < -3$ または $m > 2$

(2) $m > 0$

(3) $m < 6$

これらの共通範囲は $2 < m < 6$。

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$