数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) $S_n = 3n^2 - 2n$ (2) $S_n = 3^n - 1$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) $S_n = 3n^2 - 2n$

(2) $S_n = 3^n - 1$

2. 解き方の手順

(1) $S_n = 3n^2 - 2n$ の場合

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。

$S_n = 3n^2 - 2n$

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 - 2(n-1) = 3(n^2 - 2n + 1) - 2n + 2 = 3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2 = 3n^2 - 8n + 5$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - 2n) - (3n^2 - 8n + 5) = 3n^2 - 2n - 3n^2 + 8n - 5 = 6n - 5$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

$a_n = 6n - 5$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 6(1) - 5 = 1$

したがって、$a_n = 6n - 5$ は $n = 1$ のときも成り立ちます。

(2) $S_n = 3^n - 1$ の場合

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。

$S_n = 3^n - 1$

$S_{n-1} = 3^{n-1} - 1$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1) = 3^n - 1 - 3^{n-1} + 1 = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$

したがって、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ は $n = 1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 6n - 5$

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$