2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、2通りの解法で解き、空欄を埋めていきます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解をもつような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

解答その1: 判別式、軸、y軸交点に着目した解法

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m+6) = 4m^2 + 4m - 24 = 4(m^2 + m - 6) = 4(m+3)(m-2)$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ が必要です。

$4(m+3)(m-2) > 0$

$(m+3)(m-2) > 0$

したがって、$m < -3$ または $m > 2$ ...(①)

軸 $x$ の座標は、$x = -\frac{-2m}{2(1)} = m$ です。

2つの解が正であるためには、軸が正である必要があります。

$m > 0$ ...(②)

$y$軸との交点は、$f(0) = -m + 6$ です。

2つの解が正であるためには、$f(0) > 0$ である必要があります。

$-m + 6 > 0$

$m < 6$ ...(③)

①、②、③の共通範囲を求めると、$2 < m < 6$ となります。

解答その2: 解と係数の関係を用いた解法

2つの解を $\alpha, \beta$ とします。$\alpha > 0, \beta > 0$ であることが条件です。

異なる2つの正の解を持つためには、$D > 0$ が必要です。（①と同じ）

$\alpha + \beta = 2m > 0$ より $m > 0$ ...(⑤)

$\alpha \beta = -m + 6 > 0$ より $m < 6$ ...(⑥)

④、⑤、⑥の共通範囲を求めると、$2 < m < 6$ となります。

(1) 異なる2つの負の解を持つための条件

$D > 0$, $\alpha + \beta < 0$, $\alpha \beta > 0$

(2) 正と負の解(異符号)を持つための条件

$D > 0$ (または $D \geq 0$), $\alpha \beta < 0$

3. 最終的な答え

判別式 > 0 : $m < -3$ または $m > 2$

軸 > 0 : $m > 0$

y軸交点 > 0 : $m < 6$

①②③の共通範囲 : $2 < m < 6$

α + β : $2m$

αβ : $-m + 6$

mについて : $m > 0$

mについて : $m < 6$

④、⑤の共通範囲から求めたいm : $2 < m < 6$

(1) 異なる2つの負の解：D > 0, α+β < 0, αβ > 0

(2) 正と負の解（異符号）：D > 0, αβ < 0

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