2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ について、以下の3つの条件を満たす実数 $a$ の範囲を求める問題です。 * 異なる2つの実数解をもつ * 正の解と負の解をもつ * 異なる2つの正の解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ について、以下の3つの条件を満たす実数 $a$ の範囲を求める問題です。

* 異なる2つの実数解をもつ

* 正の解と負の解をもつ

* 異なる2つの正の解をもつ

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-2a)^2 - 4(3a - 2) = 4a^2 - 12a + 8 = 4(a^2 - 3a + 2) = 4(a - 1)(a - 2)$

となります。

(ア) 異なる2つの実数解をもつ条件は、$D > 0$ なので、

$4(a - 1)(a - 2) > 0$

$(a - 1)(a - 2) > 0$

したがって、$a < 1$ または $a > 2$

(イ) 正の解と負の解をもつ条件は、解と係数の関係から、解の積が負となることなので、

$3a - 2 < 0$

$3a < 2$

$a < \frac{2}{3}$

(ウ) 異なる2つの正の解をもつ条件は、以下の3つを満たす必要があります。

* $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* 解の和が正 ($2a > 0$、すなわち $a > 0$)

* 解の積が正 ($3a - 2 > 0$、すなわち $a > \frac{2}{3}$)

$D > 0$ は $a < 1$ または $a > 2$ です。

$a > 0$ かつ $a > \frac{2}{3}$ より、$a > \frac{2}{3}$

よって、$a < 1$ または $a > 2$ と $a > \frac{2}{3}$ の共通範囲は、$\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$

3. 最終的な答え

(ア) $a < 1$ または $a > 2$

(イ) $a < \frac{2}{3}$

(ウ) $\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$