$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 (1) $a + \frac{16}{a} \ge 8$ (2) $\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b} \ge 2$ (3) $\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

(1) $a + \frac{16}{a} \ge 8$

(2) $\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b} \ge 2$

(3) $\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$

2. 解き方の手順

(1) 相加平均と相乗平均の関係を利用します。

$a > 0$ より、$a > 0$, $\frac{16}{a} > 0$ です。

相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{a + \frac{16}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{16}{a}}$

$\frac{a + \frac{16}{a}}{2} \ge \sqrt{16}$

$\frac{a + \frac{16}{a}}{2} \ge 4$

$a + \frac{16}{a} \ge 8$

等号成立は $a = \frac{16}{a}$ のとき、すなわち $a^2 = 16$ のとき、$a > 0$ より $a = 4$ 。

(2) 相加平均と相乗平均の関係を利用します。

$a > 0$, $b > 0$ より、$\frac{2b}{3a} > 0$, $\frac{3a}{2b} > 0$ です。

相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b}}{2} \ge \sqrt{\frac{2b}{3a} \cdot \frac{3a}{2b}}$

$\frac{\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b}}{2} \ge \sqrt{1}$

$\frac{\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b}}{2} \ge 1$

$\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b} \ge 2$

等号成立は $\frac{2b}{3a} = \frac{3a}{2b}$ のとき。

$4b^2 = 9a^2$

$2b = 3a$ ($a,b > 0$ より)

(3) 相加平均と相乗平均の関係を利用します。

$a + b > 0$ より、$\frac{3}{a+b} > 0$ です。また、$3a + 3b > 0$ です。

相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{\frac{3}{a+b} + 3(a+b)}{2} \ge \sqrt{\frac{3}{a+b} \cdot 3(a+b)}$

$\frac{\frac{3}{a+b} + 3a + 3b}{2} \ge \sqrt{9}$

$\frac{\frac{3}{a+b} + 3a + 3b}{2} \ge 3$

$\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$

3. 最終的な答え

(1) $a + \frac{16}{a} \ge 8$

(2) $\frac{2b}{3a} + \frac{3a}{2b} \ge 2$

(3) $\frac{3}{a+b} + 3a + 3b \ge 6$