問題2では対数の性質を用いて与えられた対数の値を計算します。問題3では対数の底の変換公式を用いて、指定された底に変換し、対数の値を計算します。

1. 問題の内容

問題2では対数の性質を用いて与えられた対数の値を計算します。問題3では対数の底の変換公式を用いて、指定された底に変換し、対数の値を計算します。

2. 解き方の手順

問題2:

(1) $\log_3{\frac{\sqrt{3}}{27}}$ を計算します。まず、$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$、 $27 = 3^3$ と書き換えます。したがって、$\frac{\sqrt{3}}{27} = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^3} = 3^{\frac{1}{2}-3} = 3^{-\frac{5}{2}}$となります。 よって、$\log_3{\frac{\sqrt{3}}{27}} = \log_3{3^{-\frac{5}{2}}} = -\frac{5}{2}$となります。

(2) $\log_2{\sqrt{2}} + \log_2{\frac{1}{8}} - \log_2{\frac{\sqrt{2}}{4}}$ を計算します。まず、$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, $\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^2} = 2^{\frac{1}{2}-2} = 2^{-\frac{3}{2}}$と書き換えます。

したがって、$\log_2{\sqrt{2}} + \log_2{\frac{1}{8}} - \log_2{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \log_2{2^{\frac{1}{2}}} + \log_2{2^{-3}} - \log_2{2^{-\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2} - 3 - (-\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} - 3 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - 3 = 2-3 = -1$となります。

問題3:

(1) $\log_{27}{81}$ を底3に変換します。底の変換公式を用いると、$\log_{27}{81} = \frac{\log_3{81}}{\log_3{27}}$ となります。$81 = 3^4$、 $27 = 3^3$ なので、$\frac{\log_3{81}}{\log_3{27}} = \frac{\log_3{3^4}}{\log_3{3^3}} = \frac{4}{3}$となります。

(2) $\log_4{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ を底2に変換します。底の変換公式を用いると、$\log_4{\frac{\sqrt{2}}{8}} = \frac{\log_2{\frac{\sqrt{2}}{8}}}{\log_2{4}}$ となります。$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, $8 = 2^3$, $\frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^3} = 2^{\frac{1}{2}-3} = 2^{-\frac{5}{2}}$です。$4 = 2^2$なので、$\frac{\log_2{\frac{\sqrt{2}}{8}}}{\log_2{4}} = \frac{\log_2{2^{-\frac{5}{2}}}}{\log_2{2^2}} = \frac{-\frac{5}{2}}{2} = -\frac{5}{4}$となります。

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $-\frac{5}{2}$

(2) $-1$

問題3:

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $-\frac{5}{4}$