与えられた4つの連立一次方程式を解き、解をベクトルを用いて表す問題です。 (1) $2x + 5y + 10z = 1$ $3x + 6y + 11z = 2$ $x + 2y + 3z = 0$ (2) $-x - y + 2z = 1$ $2x + 2y - 4z = -2$ $4x + 4y - 8z = -4$ (3) $2x + y + z = 3$ $x + y + 2z = 2$ $5x + 3y + 4z = 8$ (4) $x - y + z = 0$ $x + y - 2z = -1$ $3x - y = 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの連立一次方程式を解き、解をベクトルを用いて表す問題です。

(1)

$2x + 5y + 10z = 1$

$3x + 6y + 11z = 2$

$x + 2y + 3z = 0$

(2)

$-x - y + 2z = 1$

$2x + 2y - 4z = -2$

$4x + 4y - 8z = -4$

(3)

$2x + y + z = 3$

$x + y + 2z = 2$

$5x + 3y + 4z = 8$

(4)

$x - y + z = 0$

$x + y - 2z = -1$

$3x - y = 1$

2. 解き方の手順

(1) 連立一次方程式を解く

1. 式3から $x = -2y - 3z$ を得る

2. 式1に代入して $2(-2y - 3z) + 5y + 10z = 1$、つまり $y + 4z = 1$

3. 式2に代入して $3(-2y - 3z) + 6y + 11z = 2$、つまり $2z = 2$、よって $z=1$

4. $y + 4(1) = 1$ より $y = -3$

5. $x = -2(-3) - 3(1) = 6 - 3 = 3$

解: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 連立一次方程式を解く

式2と式3は式1のスカラー倍になっているため、独立した式は１つのみ。

$-x - y + 2z = 1$ より $x = -y + 2z - 1$

$y = s, z = t$ とすると、

$x = -s + 2t - 1$

解: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 連立一次方程式を解く

1. 式1から式2を引く：$(2x + y + z) - (x + y + 2z) = 3 - 2$、つまり $x - z = 1$、よって $x = z + 1$

2. 式2に代入：$(z + 1) + y + 2z = 2$、つまり $y + 3z = 1$、よって $y = 1 - 3z$

3. 式3に代入：$5(z + 1) + 3(1 - 3z) + 4z = 8$、つまり $5z + 5 + 3 - 9z + 4z = 8$、つまり $8 = 8$

$z=t$とすると、$x = t + 1$, $y = 1 - 3t$

解: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(4) 連立一次方程式を解く

1. 式1と式2を足す：$(x - y + z) + (x + y - 2z) = 0 + (-1)$、つまり $2x - z = -1$

2. 式3から式1を引く：$(3x - y) - (x - y + z) = 1 - 0$、つまり $2x - z = 1$

上記の２つの式より $-1 = 1$ となるため解なし。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(4) 解なし