数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$が与えられたとき、一般項$a_n$を求める問題です。 (1) $S_n = 2n^2 + n$ (2) $S_n = 3^n + 1$

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第n項までの和$S_n$が与えられたとき、一般項$a_n$を求める問題です。

(1) $S_n = 2n^2 + n$

(2) $S_n = 3^n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a_1 = S_1$より、$a_1$を計算します。

$n \geq 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$で$a_n$を計算します。

求めた$a_n$の式に$n=1$を代入して、$a_1$と一致するか確認します。一致すれば、それが一般項の式となります。

(2)

$a_1 = S_1$より、$a_1$を計算します。

$n \geq 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$で$a_n$を計算します。

求めた$a_n$の式に$n=1$を代入して、$a_1$と一致するか確認します。一致しなければ、$n=1$のときだけ別に定義する必要があります。

(1)

$S_n = 2n^2 + n$

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 1 = 3$

$n \geq 2$のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1)) = 2n^2 + n - (2(n^2 - 2n + 1) + n - 1) = 2n^2 + n - (2n^2 - 4n + 2 + n - 1) = 2n^2 + n - (2n^2 - 3n + 1) = 4n - 1$

$a_n = 4n - 1$に$n=1$を代入すると、$a_1 = 4(1) - 1 = 3$となり、$a_1$と一致します。

(2)

$S_n = 3^n + 1$

$a_1 = S_1 = 3^1 + 1 = 4$

$n \geq 2$のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n + 1) - (3^{n-1} + 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$に$n=1$を代入すると、$a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2$となり、$a_1=4$と一致しません。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n - 1$

(2)

$n=1$のとき $a_1 = 4$

$n \geq 2$のとき $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$