問題305(1): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2\theta = \cos \theta$ を解け。

1. 問題の内容

問題305(1): $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sin 2\theta = \cos \theta$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いると、与えられた方程式は以下のように書き換えられる。

$2 \sin \theta \cos \theta = \cos \theta$

移項して $\cos \theta$ でくくると

$2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$

$\cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0$

したがって、$\cos \theta = 0$ または $2 \sin \theta - 1 = 0$ が成り立つ。

(i) $\cos \theta = 0$ のとき、

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

(ii) $2 \sin \theta - 1 = 0$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$.

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

以上より、解は $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$