次の3つの二次関数のグラフが、それぞれ指定された条件を満たすような定数 $k$ の値または値の範囲を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 3x + k$ が $x$ 軸と2点で交わる。 (2) $y = 4x^2 - 2kx + 9$ が $x$ 軸と接する。 (3) $y = kx^2 + x - 1$ が $x$ 軸と共有点を持たない。

1. 問題の内容

次の3つの二次関数のグラフが、それぞれ指定された条件を満たすような定数 $k$ の値または値の範囲を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 3x + k$ が $x$ 軸と2点で交わる。

(2) $y = 4x^2 - 2kx + 9$ が $x$ 軸と接する。

(3) $y = kx^2 + x - 1$ が $x$ 軸と共有点を持たない。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 3x + k$ が $x$ 軸と2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ となることです。

$D = 3^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k > 0$

$4k < 9$

$k < \frac{9}{4}$

(2) $y = 4x^2 - 2kx + 9$ が $x$ 軸と接する条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

$D = (-2k)^2 - 4(4)(9) = 4k^2 - 144 = 0$

$4k^2 = 144$

$k^2 = 36$

$k = \pm 6$

(3) $y = kx^2 + x - 1$ が $x$ 軸と共有点を持たない条件は、まず $k \neq 0$ である必要があります。

$k=0$ のとき、 $y=x-1$となり、これは直線なので $x$ 軸と共有点を持ちます。

$k\neq 0$ のとき、判別式 $D < 0$ となることです。

$D = 1^2 - 4(k)(-1) = 1 + 4k < 0$

$4k < -1$

$k < -\frac{1}{4}$

さらに、放物線が下に凸である必要があるので、$k > 0$を満たす必要があります。しかし、$k < -\frac{1}{4}$と$k > 0$を同時に満たす $k$ は存在しません。

放物線が上に凸であるとき、$y$ の値は常に負の値をとる必要があります。つまり、$k<0$かつ判別式$D<0$を満たす必要があります。

したがって、$k < -\frac{1}{4}$が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $k < \frac{9}{4}$

(2) $k = \pm 6$

(3) $k < -\frac{1}{4}$