与えられた3つの2次関数について、そのグラフとx軸との共有点を調べ、共有点が存在する場合はそのx座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数について、そのグラフとx軸との共有点を調べ、共有点が存在する場合はそのx座標を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフとx軸との共有点は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解に対応する。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて、共有点の個数を調べることができる。

- $D > 0$ ならば、共有点は2個

- $D = 0$ ならば、共有点は1個

- $D < 0$ ならば、共有点は0個

共有点がある場合は、2次方程式の解の公式を用いてx座標を求める。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

(1) $y = 2x^2 + 5x + 1$ の場合

$2x^2 + 5x + 1 = 0$

判別式 $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 > 0$ より、共有点は2個。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $y = 3x^2 - 7x + 5$ の場合

$3x^2 - 7x + 5 = 0$

判別式 $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = -11 < 0$ より、共有点は0個。

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3$ の場合

$\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

判別式 $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ より、共有点は1個。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) 共有点は2個。x座標は $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) 共有点は0個。

(3) 共有点は1個。x座標は $x = 3$