問題は、指数関数と対数関数に関する穴埋め問題です。定義域、値域、逆関数、対数の性質などを答える必要があります。

1. 問題の内容

問題は、指数関数と対数関数に関する穴埋め問題です。定義域、値域、逆関数、対数の性質などを答える必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 指数関数 $f(x) = a^x$ の定義域は全ての実数です。値域は正の実数です。

(2) 指数関数の逆関数は対数関数です。底は $a$ です。対数関数は $\log_a$ で表されます。

(3) 対数関数 $g(x) = \log_a x$ の定義域は正の実数です。値域は全ての実数です。$a > 1$ のとき、対数関数は狭義単調増加、$0 < a < 1$ のとき狭義単調減少です。

(4) $a^y = M$ と $y = \log_a M$ は同値です。特に、$a^{\log_a M} = M$ が成り立ちます。また、$a^0 = 1$ より、$\log_a 1 = 0$ です。

(5) $y = \log_a M$ とすると、$a^y = M$ です。指数法則より $a^{ry} = (a^y)^r = M^r$ となります。よって、$\log_a M^r = r \log_a M$ が成り立ちます。

(6) $x = \log_a M$, $y = \log_a N$ とすると、$a^x = M$, $a^y = N$ です。指数法則より、$a^{x+y} = a^x \cdot a^y = MN$ となります。よって、$\log_a (MN) = x + y = \log_a M + \log_a N$ が成り立ちます。

(7) 同様に、$\log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N$ が成り立ちます。

(8) 底の変換公式は、$\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 定義域: 実数全体、値域: 正の実数全体

(2) 対数、$\log_a$

(3) 定義域: 正の実数全体、値域: 実数全体

$a>1$ のとき狭義単調増加、$0<a<1$ のとき狭義単調減少

(4) $M$、0

(5) $M^r$、$r \log_a M$

(6) $MN$、$\log_a M + \log_a N$

(7) $\log_a M - \log_a N$

(8) $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$