2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値をそれぞれ求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $(\alpha - \beta)^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値をそれぞれ求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $(\alpha - \beta)^2$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

$x^2 + 3x - 1 = 0$ より、

$\alpha + \beta = -3$

$\alpha \beta = -1$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (-3)^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めます。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (-3)((-3)^2 - 3(-1)) = (-3)(9 + 3) = (-3)(12) = -36$

(3) $(\alpha - \beta)^2$ の値を求めます。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha^2 + \beta^2) - 2\alpha\beta$

$(\alpha - \beta)^2 = 11 - 2(-1) = 11 + 2 = 13$

または、

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$

$(\alpha - \beta)^2 = (-3)^2 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 11$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -36$

(3) $(\alpha - \beta)^2 = 13$