画像に写っている数学の問題は3つあります。 * 問題9：初項6、公比3、項数4の等比数列の和 $S_4$ を求めよ。 * 問題10：次の等比数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。 * (1) 1, 4, 16, 64, ... * (2) 2, 1, 1/2, 1/4, ... * 問題11：初項から第3項までの和が26、初項から第6項までの和が728である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は3つあります。

* 問題9：初項6、公比3、項数4の等比数列の和 $S_4$ を求めよ。

* 問題10：次の等比数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

* (1) 1, 4, 16, 64, ...

* (2) 2, 1, 1/2, 1/4, ...

* 問題11：初項から第3項までの和が26、初項から第6項までの和が728である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

* **問題9:**

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

この問題では、$a = 6$, $r = 3$, $n = 4$なので、

$S_4 = \frac{6(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{6(81 - 1)}{2} = \frac{6 \cdot 80}{2} = 3 \cdot 80 = 240$

* **問題10 (1):**

与えられた数列は 1, 4, 16, 64, ... なので、$a = 1$、$r = 4$です。

等比数列の和の公式を用いて、$S_n$を求めます。

$S_n = \frac{1(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3}$

* **問題10 (2):**

与えられた数列は 2, 1, 1/2, 1/4, ... なので、$a = 2$、$r = 1/2$です。

等比数列の和の公式を用いて、$S_n$を求めます。

$S_n = \frac{2((1/2)^n - 1)}{1/2 - 1} = \frac{2((1/2)^n - 1)}{-1/2} = -4((1/2)^n - 1) = 4(1 - (1/2)^n) = 4(1 - \frac{1}{2^n})$

* **問題11:**

$S_3 = a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = 26$

$S_6 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = 728$

$S_6 = a(1 + r + r^2) + a(r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2) + ar^3(1 + r + r^2) = (1 + r^3)a(1 + r + r^2)$

$S_6 = (1 + r^3)S_3$

$728 = (1 + r^3)26$

$1 + r^3 = \frac{728}{26} = 28$

$r^3 = 27$

$r = 3$

$a(1 + 3 + 3^2) = 26$

$a(1 + 3 + 9) = 26$

$13a = 26$

$a = 2$

3. 最終的な答え

* 問題9：$S_4 = 240$

* 問題10 (1): $S_n = \frac{4^n - 1}{3}$

* 問題10 (2): $S_n = 4(1 - \frac{1}{2^n})$

* 問題11：初項 $a = 2$, 公比 $r = 3$