与えられた4つの2次関数のグラフとx軸との共有点の座標を求め、さらにx軸に接するグラフがどれかを特定する。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数のグラフとx軸との共有点の座標を求め、さらにx軸に接するグラフがどれかを特定する。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフとx軸との共有点は、$y=0$ となる時の $x$ の値、つまり2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を求めることで得られる。この方程式の解は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ によって場合分けされる。

* $D > 0$ ならば、異なる2つの実数解があり、x軸との共有点は2つ。

* $D = 0$ ならば、重解（ただ1つの実数解）があり、x軸と接する。

* $D < 0$ ならば、実数解はなく、x軸と共有点を持たない。

各2次関数について、$ax^2 + bx + c = 0$ を解き、共有点の座標を求める。また、判別式を計算し、判別式が0になるものを選び、x軸に接するグラフを特定する。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ の場合:

$x^2 - 2x - 3 = 0$ を解くと、

$(x - 3)(x + 1) = 0$ より、$x = 3, -1$。

共有点は $(3, 0)$ と $(-1, 0)$。

判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 > 0$ なので、x軸とは接しない。

(2) $y = -x^2 + 3x - 1$ の場合:

$-x^2 + 3x - 1 = 0$ を解く。$x^2 - 3x + 1 = 0$ と変形する。

解の公式より、$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$。

共有点は $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$ と $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$。

判別式 $D = 5 > 0$ なので、x軸とは接しない。

(3) $y = 2x^2 + 4x + 2$ の場合:

$2x^2 + 4x + 2 = 0$ を解く。$x^2 + 2x + 1 = 0$ と変形する。

$(x + 1)^2 = 0$ より、$x = -1$ (重解)。

共有点は $(-1, 0)$。

判別式 $D = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$ なので、x軸と接する。

(4) $y = 2x^2 - 5x - 3$ の場合:

$2x^2 - 5x - 3 = 0$ を解く。

$(2x + 1)(x - 3) = 0$ より、$x = 3, -\frac{1}{2}$。

共有点は $(3, 0)$ と $(-\frac{1}{2}, 0)$。

判別式 $D = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 > 0$ なので、x軸とは接しない。

3. 最終的な答え

(1) x軸との共有点: $(3, 0)$, $(-1, 0)$

(2) x軸との共有点: $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

(3) x軸との共有点: $(-1, 0)$

(4) x軸との共有点: $(3, 0)$, $(-\frac{1}{2}, 0)$

x軸に接するものは (3) $y = 2x^2 + 4x + 2$。