次の方程式を解く問題です。 $2|x+1| - |x-3| = 2x$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

$2|x+1| - |x-3| = 2x$

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式なので、場合分けをして解きます。

$x+1$と$x-3$の符号が変わる点で場合分けを行います。

すなわち、$x=-1$と$x=3$が場合分けのポイントです。

(i) $x < -1$ のとき、 $x+1 < 0$ かつ $x-3 < 0$ なので、

$|x+1| = -(x+1)$、 $|x-3| = -(x-3)$ となります。

したがって、方程式は

$2(-(x+1)) - (-(x-3)) = 2x$

$-2x - 2 + x - 3 = 2x$

$-x - 5 = 2x$

$-5 = 3x$

$x = -\frac{5}{3}$

これは $x < -1$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $-1 \le x < 3$ のとき、$x+1 \ge 0$ かつ $x-3 < 0$ なので、

$|x+1| = x+1$、 $|x-3| = -(x-3)$ となります。

したがって、方程式は

$2(x+1) - (-(x-3)) = 2x$

$2x + 2 + x - 3 = 2x$

$3x - 1 = 2x$

$x = 1$

これは $-1 \le x < 3$ を満たすので、解の一つです。

(iii) $x \ge 3$ のとき、$x+1 > 0$ かつ $x-3 \ge 0$ なので、

$|x+1| = x+1$、 $|x-3| = x-3$ となります。

したがって、方程式は

$2(x+1) - (x-3) = 2x$

$2x + 2 - x + 3 = 2x$

$x + 5 = 2x$

$5 = x$

これは $x \ge 3$ を満たすので、解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{5}{3}, 1, 5$