条件 $p: x^2 - 4 = 0$ と $q: 2x - 4 = 0$ について、命題「$p \implies q$」の真偽を調べ、偽であるときは反例をあげる。ただし、$x$は実数とする。

1. 問題の内容

条件 $p: x^2 - 4 = 0$ と $q: 2x - 4 = 0$ について、命題「$p \implies q$」の真偽を調べ、偽であるときは反例をあげる。ただし、$x$は実数とする。

2. 解き方の手順

まず、$p$を満たす$x$を求める。

$x^2 - 4 = 0$ は $(x - 2)(x + 2) = 0$ と因数分解できるので、$x = 2$ または $x = -2$ である。

次に、$q$を満たす$x$を求める。

$2x - 4 = 0$ より、$2x = 4$ なので、$x = 2$ である。

したがって、$p$を満たす$x$の集合は$\{2, -2\}$であり、$q$を満たす$x$の集合は$\{2\}$である。

命題「$p \implies q$」が真であるためには、$p$を満たす全ての$x$が$q$を満たさなければならない。

$x = -2$ のとき、$p$は成り立つが、$q$は成り立たない。

したがって、命題「$p \implies q$」は偽である。

反例は $x = -2$ である。

3. 最終的な答え

偽であり、反例は $x = -2$ である。