次の方程式を解く問題です。 (1) $27x^3 - 8 = 0$ (2) $x^4 + x^2 - 30 = 0$ (3) $3x^3 + x^2 - 8x + 4 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $27x^3 - 8 = 0$

(2) $x^4 + x^2 - 30 = 0$

(3) $3x^3 + x^2 - 8x + 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $27x^3 - 8 = 0$

この式は $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の形に変形できます。

$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = 0$

$(3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2) = 0$

$(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) = 0$

$3x - 2 = 0$ より $x = \frac{2}{3}$

$9x^2 + 6x + 4 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(9)(4)}}{2(9)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 144}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{-108}}{18} = \frac{-6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

したがって、$x = \frac{2}{3}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{3}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{3}$

(2) $x^4 + x^2 - 30 = 0$

$x^2 = t$ と置くと、$t^2 + t - 30 = 0$ となります。

$(t + 6)(t - 5) = 0$

$t = -6, 5$

$x^2 = -6$ より $x = \pm i\sqrt{6}$

$x^2 = 5$ より $x = \pm \sqrt{5}$

したがって、$x = \sqrt{5}, -\sqrt{5}, i\sqrt{6}, -i\sqrt{6}$

(3) $3x^3 + x^2 - 8x + 4 = 0$

$x = 1$ を代入すると、$3(1)^3 + (1)^2 - 8(1) + 4 = 3 + 1 - 8 + 4 = 0$ となるので、$x = 1$ は解の一つです。

よって、$3x^3 + x^2 - 8x + 4$ は $(x - 1)$ を因数に持ちます。

筆算または組み立て除法を用いて、$3x^3 + x^2 - 8x + 4 = (x - 1)(3x^2 + 4x - 4)$ と因数分解できます。

$(x - 1)(3x^2 + 4x - 4) = 0$

$x - 1 = 0$ より $x = 1$

$3x^2 + 4x - 4 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6}$

$x = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

したがって、$x = 1, \frac{2}{3}, -2$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{2}{3}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{3}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{3}$

(2) $x = \sqrt{5}, -\sqrt{5}, i\sqrt{6}, -i\sqrt{6}$

(3) $x = 1, \frac{2}{3}, -2$