2次方程式 $2x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$ (5) $\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

(5) $\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた方程式は $2x^2 - 2x + 1 = 0$ なので、 $a=2, b=-2, c=1$ です。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{2} = 1$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

(1) $\alpha + \beta = 1$

(2) $\alpha \beta = \frac{1}{2}$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (1)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1 - 1 = 0$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta) = (1) \left( (1)^2 - 3 \left( \frac{1}{2} \right) \right) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

(5) $\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta} = \frac{\beta^3 + \alpha^3}{\alpha \beta} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = 1$

(2) $\alpha \beta = \frac{1}{2}$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = 0$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{1}{2}$

(5) $\frac{\beta^2}{\alpha} + \frac{\alpha^2}{\beta} = -1$