与えられた方程式 $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2} = 4$ を解いて、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2} = 4$ を解いて、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、平方根の中身を簡単にします。

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ であるから、$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$ となります。

また、$\sqrt{x^2} = |x|$ です。

したがって、与えられた方程式は、

$|x-2| + |x| = 4$

となります。絶対値を含む方程式なので、場合分けをして考えます。

(1) $x < 0$ のとき:

$x-2 < 0$ なので、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ かつ $|x| = -x$。

したがって、

$2-x + (-x) = 4$

$2-2x = 4$

$-2x = 2$

$x = -1$

これは $x<0$ の条件を満たすので、解の一つです。

(2) $0 \leq x < 2$ のとき:

$x-2 < 0$ なので、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ かつ $|x| = x$。

したがって、

$2-x + x = 4$

$2 = 4$

これは成り立ちません。したがって、この範囲に解はありません。

(3) $x \geq 2$ のとき:

$x-2 \geq 0$ なので、$|x-2| = x-2$ かつ $|x| = x$。

したがって、

$x-2 + x = 4$

$2x - 2 = 4$

$2x = 6$

$x = 3$

これは $x \geq 2$ の条件を満たすので、解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = -1, 3$