2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であることから、まず、$ax^2 + bx + 2 = 0$ の解が $x = -2$ と $x = \frac{1}{3}$ であると考えられます。

ただし、$ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であるためには、$a < 0$ である必要があります。なぜなら、$a > 0$ の場合は、$x < -2$ または $x > \frac{1}{3}$ が解となるからです。

したがって、$a < 0$ の条件下で、2次方程式 $ax^2 + bx + 2 = 0$ の解が $x = -2$ と $x = \frac{1}{3}$ であることから、

$a(x + 2)(x - \frac{1}{3}) = 0$

という形に変形できます。

これを展開すると、

$a(x^2 + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}) = 0$

$ax^2 + \frac{5}{3}ax - \frac{2}{3}a = 0$

となります。

この式と、$ax^2 + bx + 2 = 0$ を比較すると、

$b = \frac{5}{3}a$

$2 = -\frac{2}{3}a$

という関係が得られます。

2つ目の式から $a$ の値を求めると、

$a = -3$

これを1つ目の式に代入すると、

$b = \frac{5}{3}(-3) = -5$

したがって、$a = -3$、$b = -5$ となります。

確認のため、$ax^2 + bx + 2 > 0$ に $a = -3$、$b = -5$ を代入すると、

$-3x^2 - 5x + 2 > 0$

$3x^2 + 5x - 2 < 0$

$(3x - 1)(x + 2) < 0$

$-2 < x < \frac{1}{3}$

となり、与えられた解と一致します。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -5$