$a, b, c$ を整数とし、$i$ を虚数単位とする。整式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $f(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}) = 0$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $a, b$ を $c$ を用いて表す。 (2) $f(1)$ を 7 で割ると 4 余り、$f(-1)$ を 11 で割ると 2 余るとする。$c$ の絶対値が 40 以下であるとき、方程式 $f(x) = 0$ の解をすべて求める。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を整数とし、$i$ を虚数単位とする。整式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $f(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}) = 0$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $a, b$ を $c$ を用いて表す。

(2) $f(1)$ を 7 で割ると 4 余り、$f(-1)$ を 11 で割ると 2 余るとする。$c$ の絶対値が 40 以下であるとき、方程式 $f(x) = 0$ の解をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ とおく。

$\alpha$ は $x^2 - x + 1 = 0$ の解である。

$f(\alpha) = \alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$

$\alpha^2 = \alpha - 1$ なので、$\alpha^3 = \alpha(\alpha^2) = \alpha(\alpha - 1) = \alpha^2 - \alpha = (\alpha - 1) - \alpha = -1$

よって、$-1 + a(\alpha - 1) + b\alpha + c = 0$

$(a + b)\alpha + (c - a - 1) = 0$

$a, b, c$ は整数で、$\alpha$ は虚数なので、$a + b = 0$ かつ $c - a - 1 = 0$

したがって、$b = -a$ かつ $a = c - 1$

よって、$a = c - 1, b = 1 - c$

(2)

$f(x) = x^3 + (c - 1)x^2 + (1 - c)x + c$

$f(1) = 1 + (c - 1) + (1 - c) + c = c + 1$

$f(-1) = -1 + (c - 1) - (1 - c) + c = -1 + c - 1 - 1 + c + c = 3c - 3$

$f(1)$ を 7 で割ると 4 余るので、$c + 1 \equiv 4 \pmod{7}$ より $c \equiv 3 \pmod{7}$

$f(-1)$ を 11 で割ると 2 余るので、$3c - 3 \equiv 2 \pmod{11}$ より $3c \equiv 5 \pmod{11}$

$12c \equiv 20 \pmod{11}$ より $c \equiv 9 \pmod{11}$

$c = 7k + 3 = 11l + 9$ となる整数 $k, l$ が存在する。

$7k = 11l + 6$

$7k \equiv 11l + 6 \pmod{7}$ より $0 \equiv 4l + 6 \pmod{7}$

$4l \equiv -6 \pmod{7}$ より $4l \equiv 1 \pmod{7}$

$8l \equiv 2 \pmod{7}$ より $l \equiv 2 \pmod{7}$

$l = 7m + 2$ となる整数 $m$ が存在する。

$c = 11(7m + 2) + 9 = 77m + 22 + 9 = 77m + 31$

$|c| \leq 40$ より $-40 \leq 77m + 31 \leq 40$

$-71 \leq 77m \leq 9$ より $-\frac{71}{77} \leq m \leq \frac{9}{77}$

よって $m = 0$ なので、$c = 31$

$a = 31 - 1 = 30, b = 1 - 31 = -30$

$f(x) = x^3 + 30x^2 - 30x + 31$

$f(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}) = 0$ より、$f(x) = (x^2 - x + 1)(x + 31)$

$f(x) = 0$ の解は、$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, -31$

3. 最終的な答え

$a = c - 1, b = 1 - c$

$x = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}, -31$