行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の第2行に関する余因子展開を書き、その結果が $|A|$ に等しいことを確認する。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の第2行に関する余因子展開を書き、その結果が $|A|$ に等しいことを確認する。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を定義に従って計算する。

次に、第2行に関する余因子展開を計算する。

最後に、両方の結果が等しいことを示す。

行列式 $|A|$ は、例えば第1行で展開すると、以下のようになる。

$|A| = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

次に、第2行に関する余因子展開を計算する。

余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものである。

第2行に関する余因子展開は以下のようになる。

$|A| = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$

ここで、$C_{21}$, $C_{22}$, $C_{23}$ はそれぞれ以下のようになる。

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = - (a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32})$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = - (a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31})$

したがって、第2行に関する余因子展開は以下のようになる。

$|A| = a_{21}[- (a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32})] + a_{22}[a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}] + a_{23}[- (a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31})]$

$= - a_{21}a_{12}a_{33} + a_{21}a_{13}a_{32} + a_{22}a_{11}a_{33} - a_{22}a_{13}a_{31} - a_{23}a_{11}a_{32} + a_{23}a_{12}a_{31}$

標準的な展開による $|A|$ は以下のようになる。

$|A| = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$

第2行での展開による $|A|$ は以下のようになる。

$|A| = - a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}) + a_{22}(a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}) - a_{23}(a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31})$

$= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$

したがって、標準的な展開と第2行での余因子展開は等しい。

3. 最終的な答え

行列 $A$ の第2行に関する余因子展開は $|A|$ に等しい。

$|A| = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$

$= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$