与えられた条件 $p$ と $q$ について、命題「$p \implies q$」の真偽を調べ、偽である場合には反例を挙げる。 (1) $p$: $n$ は 6 の正の約数 $q$: $n$ は 18 の正の約数 (2) $p$: $x^2 - 4 = 0$ $q$: $2x - 4 = 0$ (3) $p$: $-1 < x < 1$ $q$: $-2 < x < 2$

1. 問題の内容

与えられた条件 $p$ と $q$ について、命題「$p \implies q$」の真偽を調べ、偽である場合には反例を挙げる。

(1)

$p$: $n$ は 6 の正の約数

$q$: $n$ は 18 の正の約数

(2)

$p$: $x^2 - 4 = 0$

$q$: $2x - 4 = 0$

(3)

$p$: $-1 < x < 1$

$q$: $-2 < x < 2$

2. 解き方の手順

(1)

6 の正の約数は 1, 2, 3, 6 である。

18 の正の約数は 1, 2, 3, 6, 9, 18 である。

6 の約数は全て 18 の約数とは限らないため、$p \implies q$ は偽。

反例: $n = 6$ は 6 の約数であるが、18 の約数ではない。

(2)

$p: x^2 - 4 = 0$ より、$(x-2)(x+2) = 0$ なので $x = 2, -2$

$q: 2x - 4 = 0$ より、$2x = 4$ なので $x = 2$

$x = -2$ のとき、$p$ は成り立つが $q$ は成り立たないため、$p \implies q$ は偽。

反例: $x = -2$

(3)

$p$: $-1 < x < 1$

$q$: $-2 < x < 2$

$-1 < x < 1$ を満たす全ての $x$ は $-2 < x < 2$ を満たすため、$p \implies q$ は真。

3. 最終的な答え

(1) 偽。反例: $n = 6$

(2) 偽。反例: $x = -2$

(3) 真。