次の3つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = -x^2 + 1$, ($1 \le x \le 3$) (2) $y = 2x^2 - 4x + 1$, ($-1 \le x \le 2$) (3) $y = -2x^2 + 12x$, ($0 \le x \le 6$)

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の3つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -x^2 + 1$, ($1 \le x \le 3$)

(2) $y = 2x^2 - 4x + 1$, ($-1 \le x \le 2$)

(3) $y = -2x^2 + 12x$, ($0 \le x \le 6$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 1$, ($1 \le x \le 3$)

まず、平方完成します。

$y = -(x^2 - 0x) + 1 = -(x-0)^2 + 1$

頂点は $(0, 1)$ です。上に凸な放物線です。

定義域 $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えます。

$x = 1$ のとき $y = -1^2 + 1 = 0$

$x = 3$ のとき $y = -3^2 + 1 = -9 + 1 = -8$

したがって、最大値は $0$ (x = 1)、最小値は $-8$ (x = 3) です。

(2) $y = 2x^2 - 4x + 1$, ($-1 \le x \le 2$)

平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2((x - 1)^2 - 1) + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$

頂点は $(1, -1)$ です。下に凸な放物線です。

定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を考えます。

$x = 1$ のとき $y = -1$

$x = -1$ のとき $y = 2(-1 - 1)^2 - 1 = 2(-2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$

$x = 2$ のとき $y = 2(2 - 1)^2 - 1 = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

したがって、最大値は $7$ (x = -1)、最小値は $-1$ (x = 1) です。

(3) $y = -2x^2 + 12x$, ($0 \le x \le 6$)

平方完成します。

$y = -2(x^2 - 6x) = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) = -2((x - 3)^2 - 9) = -2(x - 3)^2 + 18$

頂点は $(3, 18)$ です。上に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le 6$ における最大値と最小値を考えます。

$x = 3$ のとき $y = 18$

$x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$

$x = 6$ のとき $y = -2(6)^2 + 12(6) = -2(36) + 72 = -72 + 72 = 0$

したがって、最大値は $18$ (x = 3)、最小値は $0$ (x = 0, 6) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $0$ (x = 1)、最小値: $-8$ (x = 3)

(2) 最大値: $7$ (x = -1)、最小値: $-1$ (x = 1)

(3) 最大値: $18$ (x = 3)、最小値: $0$ (x = 0, 6)