$4x^2 + \Box x - 15$ が因数分解できるとき、$\Box$ に当てはまる自然数の個数、最大の自然数、最小の自然数を求める。

1. 問題の内容

$4x^2 + \Box x - 15$ が因数分解できるとき、$\Box$ に当てはまる自然数の個数、最大の自然数、最小の自然数を求める。

2. 解き方の手順

$4x^2 + \Box x - 15$ を因数分解できるとする。

因数分解の形は、例えば $(ax+b)(cx+d)$ と表せる。ここで、$a,b,c,d$ は整数である。

展開すると、$acx^2 + (ad+bc)x + bd$ となる。

$ac = 4$、$bd = -15$、$\Box = ad+bc$ である。

$ac = 4$ となる整数の組み合わせは、

$(a,c) = (1,4), (4,1), (2,2), (-1,-4), (-4,-1), (-2,-2)$ などがある。

$bd = -15$ となる整数の組み合わせは、

$(b,d) = (1,-15), (-1,15), (3,-5), (-3,5), (5,-3), (-5,3), (15,-1), (-15,1)$ などがある。

$\Box = ad+bc$ となる組み合わせを探す。$\Box$は自然数なので、$ad+bc > 0$ である必要がある。

以下、考えられる組み合わせと$\Box$の値を計算する。

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (1,-15)$: $\Box = 1 \times (-15) + 1 \times 4 = -11$ (不適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (-1,15)$: $\Box = 1 \times 15 + (-1) \times 4 = 11$ (適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (3,-5)$: $\Box = 1 \times (-5) + 3 \times 4 = 7$ (適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (-3,5)$: $\Box = 1 \times 5 + (-3) \times 4 = -7$ (不適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (5,-3)$: $\Box = 1 \times (-3) + 5 \times 4 = 17$ (適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (-5,3)$: $\Box = 1 \times 3 + (-5) \times 4 = -17$ (不適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (15,-1)$: $\Box = 1 \times (-1) + 15 \times 4 = 59$ (適)

* $(a,c) = (1,4), (b,d) = (-15,1)$: $\Box = 1 \times 1 + (-15) \times 4 = -59$ (不適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (1,-15)$: $\Box = 4 \times (-15) + 1 \times 1 = -59$ (不適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (-1,15)$: $\Box = 4 \times 15 + (-1) \times 1 = 59$ (適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (3,-5)$: $\Box = 4 \times (-5) + 3 \times 1 = -17$ (不適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (-3,5)$: $\Box = 4 \times 5 + (-3) \times 1 = 17$ (適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (5,-3)$: $\Box = 4 \times (-3) + 5 \times 1 = -7$ (不適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (-5,3)$: $\Box = 4 \times 3 + (-5) \times 1 = 7$ (適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (15,-1)$: $\Box = 4 \times (-1) + 15 \times 1 = 11$ (適)

* $(a,c) = (4,1), (b,d) = (-15,1)$: $\Box = 4 \times 1 + (-15) \times 1 = -11$ (不適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (1,-15)$: $\Box = 2 \times (-15) + 1 \times 2 = -28$ (不適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (-1,15)$: $\Box = 2 \times 15 + (-1) \times 2 = 28$ (適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (3,-5)$: $\Box = 2 \times (-5) + 3 \times 2 = -4$ (不適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (-3,5)$: $\Box = 2 \times 5 + (-3) \times 2 = 4$ (適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (5,-3)$: $\Box = 2 \times (-3) + 5 \times 2 = 4$ (適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (-5,3)$: $\Box = 2 \times 3 + (-5) \times 2 = -4$ (不適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (15,-1)$: $\Box = 2 \times (-1) + 15 \times 2 = 28$ (適)

* $(a,c) = (2,2), (b,d) = (-15,1)$: $\Box = 2 \times 1 + (-15) \times 2 = -28$ (不適)

$\Box$ に当てはまる自然数は $4, 7, 11, 17, 28, 59$ の6個である。

最大の自然数は $59$、最小の自然数は $4$。

3. 最終的な答え

$\Box$ に当てはまる自然数は6個。

最大の自然数は59、最小の自然数は4。