与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$ を、それぞれの項に分けて計算します。

まず、シグマの性質を利用して、以下のように分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

次に、それぞれのシグマの公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

共通因数 $n$ でくくると、

$= n \left[ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{3(n+1)}{2} + 2 \right]$

$= n \left[ \frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{9n + 9}{6} + \frac{12}{6} \right]$

$= n \left[ \frac{2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12}{6} \right]$

$= n \left[ \frac{2n^2 - 6n + 4}{6} \right]$

$= n \left[ \frac{n^2 - 3n + 2}{3} \right]$

$= \frac{n(n^2 - 3n + 2)}{3}$

$= \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$