与えられた式 $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下のようにペアにします。

$((x+y+z)(-x+y+z))((x-y+z)(x+y-z))$

次に、それぞれのペアを計算します。最初のペアは、

$(x+y+z)(-x+y+z) = (y+z+x)(y+z-x) = (y+z)^2 - x^2 = y^2 + 2yz + z^2 - x^2$

2つ目のペアは、

$(x-y+z)(x+y-z) = (x-(y-z))(x+(y-z)) = x^2 - (y-z)^2 = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

したがって、元の式は、

$(y^2 + 2yz + z^2 - x^2)(x^2 - y^2 + 2yz - z^2)$ となります。

ここで、$A = 2yz$、$B = y^2 + z^2 - x^2$、$C = x^2 - y^2 - z^2$ とおくと、与えられた式は、

$(B+A)(A-C) = (y^2 + 2yz + z^2 - x^2)(x^2 - y^2 + 2yz - z^2) = (2yz + (y^2 + z^2 - x^2))(2yz - (y^2 + z^2 - x^2)) = (2yz)^2 - (y^2 + z^2 - x^2)^2$

$= 4y^2z^2 - (y^4 + z^4 + x^4 + 2y^2z^2 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2)$

$= 4y^2z^2 - y^4 - z^4 - x^4 - 2y^2z^2 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2$

$= -x^4 - y^4 - z^4 + 2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2$

したがって、求める答えは、

$2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - x^4 - y^4 - z^4$

3. 最終的な答え

$2x^2y^2 + 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - x^4 - y^4 - z^4$