次の和を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$

代数学シグマ数列公式計算
2025/5/27

1. 問題の内容

次の和を求める問題です。
k=1nk(k+2)\sum_{k=1}^{n} k(k+2)

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。
k=1nk(k+2)=k=1n(k2+2k)\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)
シグマを分配します。
k=1n(k2+2k)=k=1nk2+k=1n2k\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k
定数項をシグマの外に出します。
k=1nk2+k=1n2k=k=1nk2+2k=1nk\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k
k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2k=1nk\sum_{k=1}^{n} k の公式を使います。
k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
それぞれの公式を代入します。
k=1nk2+2k=1nk=n(n+1)(2n+1)6+2n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2}
式を整理します。
n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)=n(n+1)(2n+1)6+6n(n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{6n(n+1)}{6}
共通因数でくくります。
n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)6=n(n+1)(2n+1+6)6\frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6}
n(n+1)(2n+7)6\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}

3. 最終的な答え

n(n+1)(2n+7)6\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}

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