次の和を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$

1. 問題の内容

次の和を求める問題です。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$

シグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k$

定数項をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

それぞれの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2}$

式を整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{6n(n+1)}{6}$

共通因数でくくります。

$\frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6}$

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$