次の和を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$代数学シグマ数列公式計算2025/5/271. 問題の内容次の和を求める問題です。∑k=1nk(k+2)\sum_{k=1}^{n} k(k+2)∑k=1nk(k+2)2. 解き方の手順まず、シグマの中身を展開します。∑k=1nk(k+2)=∑k=1n(k2+2k)\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)∑k=1nk(k+2)=∑k=1n(k2+2k)シグマを分配します。∑k=1n(k2+2k)=∑k=1nk2+∑k=1n2k\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k∑k=1n(k2+2k)=∑k=1nk2+∑k=1n2k定数項をシグマの外に出します。∑k=1nk2+∑k=1n2k=∑k=1nk2+2∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k∑k=1nk2+∑k=1n2k=∑k=1nk2+2∑k=1nk∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2∑k=1nk2 と ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k∑k=1nk の公式を使います。∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}∑k=1nk=2n(n+1)∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}∑k=1nk2=6n(n+1)(2n+1)それぞれの公式を代入します。∑k=1nk2+2∑k=1nk=n(n+1)(2n+1)6+2n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2}∑k=1nk2+2∑k=1nk=6n(n+1)(2n+1)+22n(n+1)式を整理します。n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)=n(n+1)(2n+1)6+6n(n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{6n(n+1)}{6}6n(n+1)(2n+1)+n(n+1)=6n(n+1)(2n+1)+66n(n+1)共通因数でくくります。n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)6=n(n+1)(2n+1+6)6\frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6}6n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)=6n(n+1)(2n+1+6)n(n+1)(2n+7)6\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}6n(n+1)(2n+7)3. 最終的な答えn(n+1)(2n+7)6\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}6n(n+1)(2n+7)