与えられた不等式 $|x-4|<3x$ を解きます。

代数学不等式絶対値場合分け
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた不等式 x4<3x|x-4|<3x を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、場合分けを行います。
(i) x40x-4 \geq 0 つまり x4x \geq 4 のとき、 x4=x4|x-4| = x-4 なので、不等式は
x4<3xx-4 < 3x
となります。これを解くと、
4<2x-4 < 2x
x>2x > -2
x4x \geq 4x>2x > -2 の共通範囲は x4x \geq 4 です。
(ii) x4<0x-4 < 0 つまり x<4x < 4 のとき、 x4=(x4)=4x|x-4| = -(x-4) = 4-x なので、不等式は
4x<3x4-x < 3x
となります。これを解くと、
4<4x4 < 4x
1<x1 < x
x<4x < 4x>1x > 1 の共通範囲は 1<x<41 < x < 4 です。
(i)と(ii)で求めた範囲を合わせると、x4x \geq 4 または 1<x<41 < x < 4 となり、これらを合わせると x>1x > 1 となります。
ただし、3x3x は不等式の右辺にあるので、3x>03x>0でなければならず、x>0x>0が必要です。 x>1x>1 という条件はこれを満たしています。

3. 最終的な答え

x>1x>1

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