与えられた不等式 $|x-4|<3x$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x-4|<3x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、場合分けを行います。

(i) $x-4 \geq 0$ つまり $x \geq 4$ のとき、 $|x-4| = x-4$ なので、不等式は

$x-4 < 3x$

となります。これを解くと、

$-4 < 2x$

$x > -2$

$x \geq 4$ と $x > -2$ の共通範囲は $x \geq 4$ です。

(ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき、 $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ なので、不等式は

$4-x < 3x$

となります。これを解くと、

$4 < 4x$

$1 < x$

$x < 4$ と $x > 1$ の共通範囲は $1 < x < 4$ です。

(i)と(ii)で求めた範囲を合わせると、$x \geq 4$ または $1 < x < 4$ となり、これらを合わせると $x > 1$ となります。

ただし、$3x$ は不等式の右辺にあるので、$3x>0$でなければならず、$x>0$が必要です。 $x>1$ という条件はこれを満たしています。

3. 最終的な答え

$x>1$